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POLE
Hors-séries
2012
56 pages

6,40 €

Hors-série 47 - La magie des invariants

Collectif Tangente

Présentation

SOMMAIRE


Dossier 1 : Les invariants en arithmétique et en algèbre

L'un des invariants les plus élémentaires qui soient est la parité. Elle permet par exemple de comprendre pourquoi le Taquin, ou jeu du pousse-pousse, ne peut être résolu, ce qui assura en son temps la fortune de son inventeur Sam Loyd. D'autres invariants de même nature, tels que les congruences, sont utilisés pour améliorer la qualité des transmission de données.

Parité et congruences / Le Taquin et le nombre d’inversions / Signature d’une permutation / La méthode de descente infinie de Fermat / Les codes correcteurs d’erreurs

Dossier 2 : Les invariants en géométrie

Pour les polyèdres, Leonhard Euler a mis en évidence un invariant d'une simplicité déconcertante : le nombre de sommets plus le nombre de faces moins le nombre d'arêtes est toujours égal à 2! La caractéristique d'Euler est l'un des premiers invariants topologiques de l'histoire. La géométrie n'est pas en reste : comment distinguer les différentes géométries apparues au cours des siècles? La réponse fournie à la fin du XIXème siècle par Felix Klein repose tout entière sur la notion d’invariant.

Les invariants et le programme d’Erlangen / Transport de propriétés par les transformations géométriques / La caractéristique d’Euler-Poincaré / Les invariants topologiques / Théorème du point fixe / Résoudre le Rubik’s Cube

Et aussi

Les invariants comme outils de preuves / Des invariants pour jouer


Et toujours

En bref - notes de lectures - problèmes - solutions