Bib 66 - Les secrets des dimensions
Collectif Tangente
Présentation
Dossier : Du plan à l’espace
Deux dimensions pour le plan, trois pour l’espace. Suffit-il d’extrapoler les propriétés du plan à l’espace pour décrire ce nouveau monde ? Pas si simple ! Des différences profondes séparent les deux univers.
L’espace n’est pas un bon plan / La perspective... à l’envers ! / La géométrie descriptive / Du pareil au même/ Gaspard Monge, un géomètre révolutionnaire / Le b.a.-ba de la « descro » / Merci, patron !
Dossier : De l’espace au plan
Comment rendre compte d’un volume sur une feuille de papier ? Une solution est la perspective. Elle a pourtant mis des siècles à émerger... Et même nos patrons d’écoliers regorgent encore de mystères mathématiques !
De l’astronomie à la géométrie / La projection stéréographique / La naissance de la perspective / La perspective, de l’art à la démonstration / Des lignes qui se rejoignent à l’horizon / Une petite histoire de la géométrie projective / Toute la lumière sur les ombres / Quand deux droites sont toujours sécantes / À la source des ellipses, paraboles, hyperboles / L’unification des coniques
Dossier : Passer aux dimensions supérieures
Que gagne-t-on ou que perd-on à considérer quatre dimensions... ou plus ? Depuis plus d’un siècle, ces espaces exotiques suscitent l’intérêt des mathématiciens, des cosmologistes et des artistes, qui se sont emparés de l’espace-temps !
Visualiser la quatrième dimension / Les pavages à base d’hypercubes / L’ode de la géométrie de l’au-delà / Esprit Jouffret : l’actuaire qui a inspiré le cubisme / La sphère, le monde et l’hypersphère / Des objets venus de l’espace / La quatrième dimension est-elle un plus ? / Empilement de sphères : l’exploit de Maryna Viazovska / Alicia Boole-Stott et les polytopes / Étonnante géométrie sur un corps fini / La formule d’Euler-Poincaré-Schläfli / Des dimensions non entières
Visualiser et construire
Comment l’oeil humain perçoit-il l’espace ? La question est loin d’être évidente. Vous avez déjà été, comme chacun, victime de trompe-l’oeil, d’anamorphoses et d’autres illusions d’optique.
La curieuse histoire des anamorphoses / Les objets impossibles / Le cube troué du Kangourou / Une petite incursion dans le monde de la 3D / Les ombres mises en lumière / Nouvelle : De l’eau dans le gaz / La conformité des miroirs / Maths récréatives : Le casse-tête des confiseurs / Du fil à l’objet, les imprimantes 3D
Note de lecture Tangente
Le concept de dimension n'est pas réservé à la science-fiction
Notre univers n’est pas plat, nous n’habitons pas Flatland ! La plupart des objets que l’homme construit, qu’il soit artisan, architecte, sculpteur, sont donc de dimension 3. Mais alors, comment les décrire avec suffisamment de précision à l’aide d’informations couchées sur une feuille de papier ? C’est l’objet du premier dossier, « Du plan à l’espace », du nouveau volume de la Bibliothèque Tangente, qui décrit divers outils mathématiques utilisés dans ce dessein, parfois depuis des siècles : les patrons, la géométrie descriptive, les équations et même… la perspective inversée.
Car dans le deuxième dossier, pour passer de l’espace au plan, la perspective a constitué une révolution. Des théories mathématiques ont vu le jour à partir d’elle : la géométrie projective ou la projection stéréographique permettent de se mouvoir dans des espaces nouveaux où certaines des surfaces traditionnellement différentes se rejoignent.
Après avoir franchi le seuil de la dimension 3 à partir de la dimension 2, on n’a pas envie de s’arrêter en si bon chemin. Peut-on imaginer une visualisation de la quatrième dimension, voire plus ? Certains artistes et architectes ont déjà répondu oui – l’arche de la Défense en est un exemple –, mais les mathématiciens les rejoignent, en généralisant de manière étonnamment simple des propriétés délicates d’objets 3D.
Le livre se termine par des curiosités dans la perception des dimensions, où arts et surfaces se rejoignent souvent.
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