Vous avez sûrement déjà appris qu’en additionnant les chiffres d’un nombre entier n et en recommençant avec le résultat obtenu, vous finiriez par obtenir le reste dans la division euclidienne par 9 de n. Par exemple, avec 1 789, on trouve 1 + 7 + 8 + 9 = 25 puis 25 donne 2 + 5 = 7. On a bien par ailleurs 1 789 = 198 × 9 + 7. Que se passe-t-il si on modifie légèrement les règles du jeu et si on additionne les carrés des chiffres ?
Y a d’la joie
Reprenons donc notre premier exemple pour bien comprendre les nouvelles règles du jeu. L’entier 1 789 donne cette fois-ci 12 + 72 + 82 + 92 = 195. Puis on recommence : 195 donne 12 + 92 + 52 = 107. Nous voilà bien lancés, voyons ce que cela donne ensuite : 107 donne 50 puis 25, 29, 85, 89, 145, 42, 20, 4, 16… Tout cela semble bien erratique. Et pourtant, en persévérant un peu on trouve juste après 37, 58 puis 89. Nous avions déjà croisé cet entier-là donc nous savons maintenant que nous ne sortirons plus de ce cycle de longueur 8 : 89 → 145 → 42 → 20 → 4 → 16 → 37 → 58.
Évidemment, la tentation est forte d’essayer avec un nouveau nombre ! Allons-y, avec 2 026. Cet entier donne : 44 → 32 → 13 → 10 → 1. On peut ... Lire la suite