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magazines > Maths (Tangente) > Tangente HS


POLE
Thématiques
2016
58 pages

6,40 €


Thématique 61 - Les ensembles

Collectif Tangente

Présentation

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Dossier 1 : Ensembles, relations et applications : une nouvelle approche
Dossier 2 : Nombres, opérations, structures
Dossier 3 : Infini, axiomatique et paradoxes

SOMMAIRE
Dossier 1 : Ensembles, relations et applications : une nouvelle approche

Un ensemble est une collection d'objets – les éléments – entre lesquels il peut exister toutes sortes de relations. Au niveau élémentaire, on peut visualiser les ensembles à l'aide de « patatoïdes » reliés par des flèches pour matérialiser les relations qui les lient, mais cette représentation naïve trouve rapidement ses limites, en particulier quand les ensembles sont infinis. La théorie des ensembles offre surtout un cadre à la formalisation rigoureuse de tous les domaines des mathématiques et conduit à des démonstrations renversantes : plus qu'une simple théorie, c'est une nouvelle approche des mathématiques.

Dossier 2 : Nombres, opérations, structures
Les nombres sont au centre de l'édifice mathématique. Après une longue période où ils étaient appréhendés par l'intuition, le besoin s'est fait sentir de les concevoir à l'aide d'une axiomatique rigoureuse ; celle introduite par Peano pour les entiers naturels en est le plus bel exemple. La théorie des ensembles a ensuite débouché sur la construction des rationnels, des réels, des complexes. S'inspirant de ces méthodes et les généralisant, elle a permis de définir des structures plus générales comme la notion de groupe et de donner un socle rigoureux à la géométrie dans le cadre de la théorie des espaces vectoriels.

Dossier 3 : Infini, axiomatique et paradoxes
Aussi simple et féconde qu'elle soit, la notion d'ensemble révèle, une fois soumise à l'analyse impitoyable du logicien, de redoutables problèmes techniques. Des paradoxes émergent : peut-on considérer l'ensemble de tous les ensembles ? Un ensemble peut-il être un élément de lui-même ? Les ensembles infinis soulèvent d'autres questions. Combien de types d'infinis fondamentalement différents existe-t-il ? L'infini, l'autoréférence, les paradoxes, cachés en embuscade, réservent bien des surprises au voyageur imprudent…

Et aussi
La théorie des ensembles passionne et divise. Bien qu'ayant été adoptée presque universellement par les mathématiciens, elle donne naissance à de nombreux paradoxes et à autant de controverses... mais aussi à des approches plus ludiques !

Et toujours :

En bref, Notes de lecture, problèmes et solutions