L’équation d’Erdős-Moser
Considérons l’équation suivante : 1k + 2k +… + (m – 1)k = mk où m et k sont des entiers.
La seule solution connue est 11 + 21 = 31.
Erdős a conjecturé, dans les années 1950, qu’il n’y en avait pas d’autre.
Il existe de nombreux résultats concernant k et m dans le cas où l’équation posséderait au moins une autre solution. En voici quelques-uns, classés dans l’ordre chronologique, le premier ayant été obtenu par Leo Moser :
• l’exposant k doit être pair et m doit vérifier (1953) ;
• m – 1 n’est pas premier (1966) ;
• tout facteur premier de m doit être supérieur à 10 000 (1994) ;
• k doit être un multiple de 23 × 3# × 5# × 7# × 19# × 1000#, où le symbole # indique la primorielle, c’est-à-dire que n# est le produit de tous les nombres premiers inférieurs ou égaux à n. Ce nombre dépasse 5,746 × 10427 (2002) !
• m doit vérifier (2010) ;
• (m² – 1)(4m2 – 1)/12 possède au moins 4 990 906 facteurs premiers (2011) !
Au vu des valeurs présentes dans ces propriétés, on peut imaginer facilement que la conjecture est vraie. Mais encore faut-il le démontrer, ce qui n’a toujours pas été le cas !
La conjecture d’Erdős-Straus
Toute fraction d’entiers a/b possède une représentation comme somme de fractions unitaires du type 1/x, ... Lire la suite gratuitement