Une source privilégiée de curiosité pour tout arithméticien est la suite des nombres premiers. Mathématicien exceptionnel s’il en est, Erdős ne faisait pas exception sur ce point. Rappelons qu’un nombre premier est un nombre entier qui n’est divisible que par 1 et lui-même. Le nombre d’individus d’un groupe est donc premier s’il est impossible de former plusieurs équipes de même effectif. À ce titre, le nombre 1 n’est pas premier. Il y a une raison essentielle à cela : tout nombre entier excédant 1 peut être représenté de manière unique comme produit de nombres premiers, à l’ordre des facteurs près, or si le nombre 1 était premier, on pourrait adjoindre au produit une quantité arbitraire de facteurs 1 et la représentation ne serait pas unique.
Depuis la nuit des temps, la structure de la suite des nombres premiers, 2, 3, 5, 7, 11, … intrigue l’humanité. Il existe quantité de preuves du fait que l’ensemble des nombres premiers est infini, un résultat que l’on trouve déjà chez Euclide (vers − 300). La plus courte tient en quatre caractères : n! + 1. En effet, ce nombre entier (où n! désigne la factorielle de n, c’est-à-dire le produit de tous les entiers de 1 à n) ... Lire la suite