Le problème de la quadrature du cercle est l’archétype du problème mathématique difficile, et nous savons qu’elle est impossible. Mais qu’en est-il de ce qu’on appelle communément la quadrature du carré, c’est-à-dire la dissection d’un carré en carrés plus petits et de tailles différentes ? Si la condition sur les tailles différentes n’est pas exigée, la réponse est immédiate : oui, il est toujours possible de découper un carré en carrés dont le côté est une fraction du côté du carré initial comme dans un quadrillage.
Un découpage trivial d’un carré en carrés.
Deux conjectures
En 1934, Paul Erdős est en résidence à l’université de Manchester. Lors de son passage à Cambridge, il émet deux conjectures :
• conjecture 1 : toute dissection d’un carré en un nombre fini de plus petits carrés doit contenir au moins deux carrés de même taille ;
• conjecture 2 : au moins deux carrés de même taille sont en contact.
Ces deux conjectures sont vérifiées dans le cas du découpage trivial précédent. Ajoutons une contrainte supplémentaire : le découpage sera dit parfait si tous les petits carrés sont de tailles différentes, et son ordre est alors le nombre de carrés. Est-ce donc possible de faire la ... Lire la suite