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magazines > Culture Mathématique > Tangente HS


POLE
Hors-séries
2017
58 pages

6,80 €



Hors-série 63 - Les nombres complexes

Présentation

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Les complexes sont issus de la volonté d'accéder à une résolution des équations algébriques. Il a fallu une audace incroyable pour imaginer dans un premier temps... les imaginaires ! Mais la création du corps des complexes, dont on allait montrer qu'il était « algébriquement clos », a révolutionné non seulement l'algèbre mais la géométrie. Les nombres complexes se représentent en effet dans un plan. Il n'a pas fallu longtemps pour comprendre comment on pouvait les exploiter pour trouver de nouvelles démonstrations de problèmes de géométrie. Quant à la trigonométrie, elle est résumée dans une notion au fabuleux destin : l'exponentielle complexe.

Dossier 1 : Approche algébrique
Les nombres irrationnels, le zéro, les nombres négatifs ont mis des siècles à être acceptés. Ce fut également le cas des « imaginaires », qui ont donné naissance à la notion de nombres complexes. À l'origine de leur – tardive – introduction, il y avait le souhait de résoudre les équations du deuxième degré qui n'avaient pas de solution réelle. Cela a débouché sur la conception d'un ensemble puissant, possédant la structure de corps algébriquement clos.

Dossier 2 : Représentations géométriques
À tout seigneur, tout honneur : la géométrie est la première à profiter de l'introduction des nombres imaginaires. La représentation des complexes comme points du plan permet d'« encoder » adroitement une transformation, de « capturer » judicieusement le lieu d'un point qui se déplace. Homothéties, similitudes et autres inversions reçoivent ainsi une interprétation algébrique simple et deviennent aisément manipulables.

Dossier 3 : Complexes, trigonométrie et analyse
Les nombres complexes ont totalement bouleversé l'analyse : en autorisant la variable d'une brave fonction réelle à prendre des valeurs dans C, Leonhard Euler et surtout Bernhard Riemann ont ouvert une boîte de Pandore. L'exponentielle s'est enfin épanouie, et avec elle toute la trigonométrie. Des domaines de la physique, comme le génie électrique, ne peuvent désormais plus s'en passer.

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